Question
在一个由 '0' 和 '1'
组成的二维矩阵内，找到只包含 '1'
的最大正方形，并返回其面积。
Example 1:
输入：matrix = [
["1","0","1","0","0"],
["1","0","1","1","1"],
["1","1","1","1","1"],
["1","0","0","1","0"]] 输出：4
Example 2:
输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]] 输出：1
Example 2:
输入：matrix = [["0"]] 输出：0
Note:
- m == matrix.length
- n == matrix[i].length
- 1 <= m, n <= 300
- matrix[i][j] 为 '0' 或 '1'
Approach 1: 动态规划
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 表示以 为右下角，且只包含 1
的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有
的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1
的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算
中的每个元素值呢？对于每个位置 ，检查在矩阵中该位置的值：
- 如果该位置的值是 0，则 ，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
- 如果该位置的值是 1，则 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的
值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加
1，状态转移方程如下：
如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1
的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。
此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0，则以位置 (i,
j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 。
Python:
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| class Solution:
def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
if len(matrix) == 0 or len(matrix[0]) == 0:
return 0
maxSide = 0
rows, columns = len(matrix), len(matrix[0])
dp = [[0] * columns for _ in range(rows)]
for i in range(rows):
for j in range(columns):
if matrix[i][j] == '1':
if i == 0 or j == 0:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
maxSide = max(maxSide, dp[i][j])
maxSquare = maxSide * maxSide
return maxSquare
|
C++:
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| class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) {
return 0;
}
int maxSide = 0;
int rows = matrix.size(), columns = matrix[0].size();
vector<vector<int>> dp(rows, vector<int>(columns));
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < columns; j++) {
if (matrix[i][j] == '1') {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
maxSide = max(maxSide, dp[i][j]);
}
}
}
int maxSquare = maxSide * maxSide;
return maxSquare;
}
};
|
复杂度分析
- 时间复杂度：，其中 m 和 n
是矩阵的行数和列数。需要遍历原始矩阵中的每个元素计算 的值。
- 空间复杂度：，其中 m 和 n
是矩阵的行数和列数。创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 。由于状态转移方程中的
由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的
值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至 。