JZOffer 55-平衡二叉树-II-简单-树

剑指 Offer 55 - II. 平衡二叉树

Question

输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。

Example 1:

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]
1
2
3
4
5
3
/ \
9  20
 /  \
15   7
返回 true 。

Example 2:

给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
1
2
3
4
5
6
7
      1
     / \
    2   2
   / \
  3   3
 / \
4   4
返回 false 。

提示：

0 <= 树的结点个数 <= 10000

注意：本题与主站 110 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/balanced-binary-tree/

以下两种方法均基于以下性质推出： 此树的深度 等于 左子树的深度 与 右子树的深度 中的 最大值 +1+1 。

Approach 1: 后序遍历 + 剪枝（从底至顶）

此方法为本题的最优解法，但剪枝的方法不易第一时间想到。

思路是对二叉树做后序遍历，从底至顶返回子树深度，若判定某子树不是平衡树则 “剪枝” ，直接向上返回。

算法流程： recur(root) 函数：

返回值：
- 当节点root 左 / 右子树的深度差：则返回当前子树的深度，即节点 root 的左 / 右子树的深度最大值 +1 （ max(left, right) + 1 ）；
- 当节点root 左 / 右子树的深度差 > 2 ：则返回 -1 ，代表此子树不是平衡树。
终止条件：
- 当 root 为空：说明越过叶节点，因此返回高度 0 ；
- 当左（右）子树深度为 -1 ：代表此树的左（右）子树不是平衡树，因此剪枝，直接返回 -1 ；

isBalanced(root) 函数：

返回值：若 recur(root) != -1 ，则说明此树平衡，返回 true ；否则返回 false 。

class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        def recur(root):
            if not root: return 0
            left = recur(root.left)
            if left == -1: return -1
            right = recur(root.right)
            if right == -1: return -1
            return max(left, right) + 1 if abs(left - right) <= 1 else -1

        return recur(root) != -1

复杂度分析

时间复杂度 O(N)： N 为树的节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
空间复杂度 O(N)：最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N) 的栈空间。

方法二：先序遍历 + 判断深度（从顶至底）

此方法容易想到，但会产生大量重复计算，时间复杂度较高。

思路是构造一个获取当前子树的深度的函数 depth(root) （即面试题55 - I. 二叉树的深度），通过比较某子树的左右子树的深度差 abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 是否成立，来判断某子树是否是二叉平衡树。若所有子树都平衡，则此树平衡。

算法流程： isBalanced(root) 函数：判断树 root 是否平衡

特例处理：若树根节点 root 为空，则直接返回 truetrue ；
返回值：所有子树都需要满足平衡树性质，因此以下三者使用与逻辑 &&&& 连接;
- abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 ：判断当前子树是否是平衡树；
- self.isBalanced(root.left) ：先序遍历递归，判断当前子树的左子树是否是平衡树；
- self.isBalanced(root.right) ：先序遍历递归，判断当前子树的右子树是否是平衡树；

depth(root) 函数：计算树 root 的深度

终止条件：当 root 为空，即越过叶子节点，则返回高度 0 ；
返回值：返回左 / 右子树的深度的最大值 +1 。

class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        if not root: return True
        return abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 and \
            self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)

    def depth(self, root):
        if not root: return 0
        return max(self.depth(root.left), self.depth(root.right)) + 1

复杂度分析

时间复杂度 O(N) ：O(NlogN)：最差情况下（为 “满二叉树” 时）， isBalanced(root) 遍历树所有节点，判断每个节点的深度 depth(root) 需要遍历各子树的所有节点。
- 满二叉树高度的复杂度 O(log N) ，将满二叉树按层分为 log (N+1) 层；通过调用 depth(root) ，判断二叉树各层的节点的对应子树的深度，需遍历节点数量为。因此各层执行 depth(root) 的时间复杂度为 O(N)（每层开始，最多遍历 N 个节点，最少遍历￥￥个节点）。
- 其中，代表从此层开始总共需遍历 N-3 个节点，此层共有 44 个节点，因此每个子树需遍历个节点。
  
  因此，总体时间复杂度 = 每层执行复杂度层数复杂度 = 。
空间复杂度 O(N)：最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N*) 的栈空间。

剑指 Offer 55 - II. 平衡二叉树

Question

Approach 1: 后序遍历 + 剪枝 （从底至顶）

方法二：先序遍历 + 判断深度 （从顶至底）

Approach 1: 后序遍历 + 剪枝（从底至顶）

方法二：先序遍历 + 判断深度（从顶至底）